ѕункт 9. ¬ластивост≥ пр¤муючих дроб≥в.

¬ластив≥сть 1 . P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} = (- 1) ^s , s > 0.

ƒоказ. ѕозначимо h _s = P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} .

h ₁ = P ₁ Q ₀ - Q ₁ P ₀ = q ₁ Ј 0 - 1 Ј 1 = -1,

h_s = P_s Q_{s -1} - Q_s P_{s -1} = ( q_s P_{s -1} + P_{s -2} ) Q_{s -1} - ( q_s Q_{s -1} + Q_{s -2} ) P_{s -1} = P_{s -2} Q_{s -1} - Q_{s -2} P_{s -1} = - h_{s -1} .

¬иходить, h_s = (-1) ^s .

¬ластив≥сть 2.

d _s - d _{s -1} =, s>1

ƒоказ.

d _s - d _{s -1} =

¬ластив≥сть 3. ƒл¤ будь-¤кого s > 0, др≥б P _s / Q _s - нескоротний.

ƒоказ. Ќу нехай найб≥льший сп≥льний д≥льник ( P _s , Q _s ) дор≥внюЇ d ≥ d > 1. “од≥ d д≥литьс¤ на р≥зницю P _s Q _{s -1} - Q _s P _{s -1} , р≥вну (-1) ^s , що неможливо.

¬ластив≥сть 4.

≥ р≥вн≥сть дос¤гаЇтьс¤ т≥льки при q ₁ = q ₂ =...= q _s = 1.

ƒоказ. Ќам уже в≥домо, що

Q ₀ = 0, Q ₁ = 1, q _i Î N , Q _s = q _s Q _{s -1} + Q _{s -2} ³ Q _{s -1} + Q _{s -2} .

Ќайб≥льш пов≥льний р≥ст знаменник≥в буде спостер≥гатис¤ при Q _s = Q _{s -1} + Q _{s -2} , тобто при q₁ =q₂ = ... = q_s =1. ÷е рекурентне сп≥вв≥дношенн¤ разом з початковими умовами Q₀ = 0, Q₁ = 1 задаЇ посл≥довн≥сть ‘≥боначч≥. ’арактеристичне р≥вн¤нн¤ дл¤ рекурентного сп≥вв≥дношенн¤ ‘≥боначч≥:

x ² = x + 1;

його корен≥: x _1,2 =;

загальний розвТ¤зок:

ѕ≥дставивши початков≥ умови у загальний розвТ¤зок одержимо:

зв≥дки C ₁ = - C ₂ = 1/ Ö 5.

‘ормула s-ого члена посл≥довност≥ ‘≥боначч≥ загальнов≥дома.

ќтже, знаменники придатних дроб≥в ростуть не пов≥льн≥ше посл≥довност≥ ‘≥боначч≥: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

¬≥дступ про ‘≥боначч≥.

‘≥боначч≥ - "—ин Ѕоначчо" чи Ћеонардо ѕ≥занський (1180-1240),- в≥домий середньов≥чний математик-крол≥вник, ф≥лософ, купець ≥ т.д. ѕодорожував ≥ торгував у крањнах сходу, але, на в≥дм≥ну в≥д тупих сучасних човник≥в, заклопотаних т≥льки маркс≥вською р≥зницею ƒ¢ -ƒ, де ƒ - грош≥, ƒ¢ - грош≥ штрих, вивчав науку сходу. « поверненн¤м до ™вропи в≥н записав з≥бран≥ зведенн¤, додав багато власних досл≥джень ≥ видав книги "ѕрактика геометр≥њ" ≥ " нига абака". ѕосл≥довн≥сть ‘≥боначч≥ виникаЇ в самого Ћеонардо при р≥шенн≥ наступноњ задач≥: —к≥льки пар кролик≥в може зТ¤витис¤ в≥д одн≥Їњ пари прот¤гом року, ¤кщо а) кожна пара кожен м≥с¤ць породжуЇ нову пару, що ≥з другого м≥с¤ц¤ стаЇ виробником, ≥ б) кролики не дохнуть. –азючим чином, демонструючи Їдн≥сть св≥тобудови, посл≥довн≥сть ‘≥боначч≥ з'¤вл¤Їтьс¤ не т≥льки при вивченн≥ ланцюгових дроб≥в, але й у багатьох ≥нших розд≥лах математики, ф≥зики, б≥олог≥њ, мистецтвознавства.  р≥м породженн¤ на св≥тло ц≥Їњ чудовоњ посл≥довност≥ й ≥ншого, " нига абака" була одним з вир≥шальних джерел проникненн¤ в «ах≥дну ™вропу дес¤тковоњ системи численн¤ й арабського запису цифр.

¬ластив≥сть 5. ƒл¤ будь-¤кого неск≥нченного ланцюгового дробу, посл≥довн≥сть d ₁ , d ₂ , d ₃ ,... сходитьс¤.

ƒоказ. –озгл¤немо п≥дпосл≥довност≥:

, , Е , , ... - дробу з парними номерами ≥

, , Е , , ... - дробу з непарними номерами.

ћаЇмо:

†d_{2 n +2} - d _{2 n +1} + d _{2 n +1} - d _{2 n} =

оск≥льки Q _{2 n +2} Q _{2 n +1} > Q _{2 n +1} Q _{2 n} . ¬иходить, п≥дпосл≥довн≥сть дроб≥в з парними номерами монотонно спадаЇ. јналог≥чно, друга п≥дпосл≥довн≥сть монотонно зростаЇ. ”с¤кий член "парноњ" посл≥довност≥ б≥льший за дов≥льний член "непарноњ". ƒ≥йсно, розгл¤немо d_{2 n} ≥ d_{2 m +1} . ¬≥зьмемо парне k таке, що k +1 > 2 n ≥ k +1 > 2 m + 1. “од≥

d _k - d _{k -1} =, тобто d _k > d _{k -1}

јле d_k < d_{2 n} , через спаданн¤ посл≥довност≥ "парних", а d _{k -1} > d _{2 m +1} , через зростанн¤ посл≥довност≥ "непарних". ¬иходить, d _{2 n} > d _k > d _{k -1} > d _{2 m +1} , що ≥ потр≥бно. ¬иходить, що обидв≥ посл≥довност≥ монотонн≥ й обмежен≥, отже, мають меж≥.  р≥м того,

| d _s - d _{s -1} | = при s Ѓ ¥ ††Ѓ 0,

де F_s - s -ий член посл≥довност≥ ‘≥боначч≥, отже меж≥ обох п≥дпосл≥довностей зб≥гаютьс¤.

ќтже, ус¤кий неск≥нченний ланцюговий др≥б маЇ де¤ке значенн¤.

¬ластив≥сть 6. Ќехай a Î R розкладаЇтьс¤ в ланцюговий др≥б, наприклад, за допомогою процесу уз¤тт¤ ц≥лих частин ≥ "перекиданн¤" дробових (цей процес запропонований у пункт≥ 7 п≥сл¤ формулюванн¤ основноњ теореми про ланцюгов≥ дроби), тобто

- результат чергового етапу процесу розкладу. “од≥ a лежить м≥ж d_{s -1} ≥ d_s , причому ближче до d_s , н≥ж до d_{s -1} .

ƒоказ. Ќа ( s +1)-ому кроц≥ розкладу зам≥нюЇмо q_s на q_s + 1/ a_{s +1} , тому маЇмо точну р≥вн≥сть:

a =, отже

a a _{s +1} Q _s + a Q _{s -1} - a _{s +1} P _s - P _{s -1} = 0.

ѕеретворимо:

÷¤ р≥вн≥сть означаЇ, що р≥зниц≥ в дужках р≥зних знак≥в.  р≥м того, Q_s > Q_{s -1} , a _{s +1} > 1, значить

.

¬ластив≥сть 7. ƒл¤ будь-¤кого a Î R , розклад в ланцюговий др≥б Їдиний.

ƒоказ. Ќехай Ї два розклади того самого числа:

якщо два числа зб≥гаютьс¤, то в них зб≥гаютьс¤ ц≥л≥ частини, тобто р₁ = q₁ , ≥ зб≥гаютьс¤ зворотн≥ величини до дробових частин:

ƒал≥ так само, по ≥ндукц≥њ. ќсновна теорема про ланцюгов≥ дроби (сформульована в пункт≥ 7), до цього моменту ви¤вилас¤ доведеною. Ѕ≥льш того, з вищевикладеного випливаЇ, що дов≥льний ланцюговий др≥б (ск≥нчений чи неск≥нченний) сходитьс¤ саме до того числа, що було в нього розкладене.