Групи. Групою називається множина , наділена бінарною операцією  з такими властивостями:

1.       для будь-яких елементів (асоціативність);

2.      В  існує нейтральний елемент  такий, що  для всіх ;

3.      Для кожного елемента  в  є обернений елемент  такий, що .

Якщо підмножина  множини  утворює групу відносно тієї ж операції , то вона називається підгрупою групи . Так, множина раціональних чисел  утворює групу за додаванням(), а множина цілих чисел  є її підгрупою. Множина додатніх раціональних чисел утворює групу за множенням(). Якщо групову операцію називаємо групу за множенням, то саму групу називаємо мультиплікативною, а її нейтральний елемент-одиницею. Якщо ж операцію називаємо додаванням, то групу називаємо адитивною, нейтральний елемент нулем, а обернений елемент-протилежним елементом.

Для елемента  групи  через  позначається його і-тий степінь–елемент , де операція виконана і-1 раз. (В адитивній формі те ж саме записується як ). Нескладною вправою є доведення того, що для кожного елемента  скінченної групи для деякого показника  виконується рівність . Найменше з таких називається порядком елемента у групі .

            Порядком скінченної групи називається кількість її елементів. Легко зауважити, що всі степені елемента групи утворюють у ній підгрупу, порядок якої дорівнює порядку елемента.

            ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА(1771).

1.      Порядок підгрупи є дільником порядку групи.

2.      Порядок елемента є дільником порядку групи.

Нехай маємо дві групи  і  з операціями  і  відповідно. Кажемо, що відображення  зберігає операцію, якщо  для всіх . Таке відображення називається гомоморфізмом з групи  у групу . Ядром гомоморфізму  є множина всіх тих елементів групи , які  відображає в нейтральний елемент групи . Наприклад, відображення, яке кожному цілому числу ставить у відповідність його остачу від ділення на натуральне , є гомоморфіізмом із адитивної групи  в адитивну групу , ядро якого утворюють цілі числа, кратні . Легко показати, що ядро гомоморфізму  утворює в  підгрупу.

Гомоморфізм  є ін’єктивним тоді і лише тоді, коли його ядро складається тільки із нейтрального елемента групи . Таке ядро називається тривіальним.

Гомоморфізм, який є бієктивним відображенням, називається ізоморфізмом. Дві групи ізоморфні, якщо існує ізоморфізм з однієї з них на іншу. Наприклад, двійковий логарифм  задає ізоморфізм із мультиплікативної групи невід’ємних дійсних чисел  в адитивну групу всіх дійсних чисел . Ізоморфні групи мають тотожні алгебраїчні властивості.

Для груп  s  з операціями  і  відповідно, через  позначаємо їх прямий добуток–множину пар , де , із покомпонентним виконанням операцій. А саме, результатом виконання операцій над елементами  s  множини  вважається елемент . Нескладно перевірити, що відносно введеної операції прямий добуток груп є групою.

Група називається комутативною або абелевою, якщо групова операцція володіє властивістю комутативності:  для будь-яких елементів  та .

Якщо кожен елемент групи  є степенем її елемента , то цей елемент називається твірним і кажуть, що він породжує групу . Якщо група  має порядок , то  є її твірним елементом тоді і лише тоді, коли його порядок теж дорівнює . Група, яка має твірний елемент, називається циклічною. Циклічна група порядку  ізоморфна групі , а нескінченна циклічна група–групі .

ТВЕРДЖЕННЯ Б.1. Циклічна група порядку  має рівно  твірних елементів.

ДОВЕДЕННЯ. Його досить провести для . Покажемо, що  породжує  тоді і лише тоді, коли числа  і  взаємно прості. Справді, якщо НСД, то маємо  для деяких цілих  і . Із цієї рівності випливає, що кожен елемент  дорівнює -кратній сумі (можна вважати, що , а інакше коефіціент  слід поміняти на його остачу від ділення на ).

Навпаки, якщо НСД і , то  в . Отже, порядок  не перевищує  і не може бути твірним.