–озгл¤немо теорему, що показуЇ, що серед ус≥х рац≥ональних дроб≥в з обмеженим за величиною знаменником, щонайкраще наближаЇ дов≥льне число його пр¤муючий др≥б.
“еорема. Ќехай a - дов≥льне число, s > 1, а ¤кщо при цьому
a = a / b - нескоротна, то s < n , де n таке, що Q n = b . “од≥ нер≥вн≥сть
можливо т≥льки ¤кщо в нескоротного дробу c / d знаменник б≥льше Q s .
ƒоказ. ћи знаЇмо, що a завжди лежить м≥ж сус≥дн≥ми придатними дробами, тому завжди
÷¤ нер≥вн≥сть про≥люстрована малюнком 4, розгл¤даючи ¤кий, потр≥бно пам'¤тати, що
†(тод≥ про≥люстрована нер≥вн≥сть стаЇ очевидною , нав≥ть ¤кщо c / d < ds +1 ).
|
|
–ис. 4
« про≥люстрованоњ нер≥вност≥ випливаЇ, що
≥, ¤кщо c / d ¹ d s +1 , те
ќтже,
≥, виходить, d > Q s , що ≥ було потр≥бно. якщо ж c / d = d s +1 , то d = Q s +1 > Q s .
ќтже, пр¤муючий др≥б - найкраще наближенн¤ даного числа серед ус≥х дроб≥в, знаменники ¤ких не перевершують знаменник пр¤муючого дробу. “ут ми впритул п≥д≥йшли до питанн¤ про наближенн¤ дов≥льних чисел рац≥ональними дробами про що буде йти мова в параграф≥ 5 "“рансцендентн≥ числа".
«вернемо увагу на зовн≥шн≥й вигл¤д ланцюгових дроб≥в. —пробуЇмо гл¤нути на ланцюгов≥ дроби ≥ задамос¤ питанн¤м - ¤к≥ числа представл¤ютьс¤ у вигл¤д≥ пер≥одичного ланцюгового дробу?
¬изначенн¤. Ќеск≥нченний ланцюговий др≥б
називаЇтьс¤ пер≥одичним, ¤кщо дл¤ посл≥довност≥ q1 , q2 , ..., qn , ... його неповних часток знайдутьс¤ так≥ натуральн≥ k0 ≥ h , що дл¤ будь-¤кого k ³ k0 справедливо qk+h = qk , тобто посл≥довн≥сть неповних часток, починаючи з де¤кого м≥сц¤ k0 пер≥одична.
¬изначенн¤. ≤ррац≥ональне число, що Ї коренем де¤кого квадратного р≥вн¤нн¤ з ц≥лими коеф≥ц≥Їнтами, називаЇтьс¤ квадратичною ≥ррац≥ональн≥стю.
ѕриклади квадратичних ≥ррац≥ональностей:
ѕриклади не квадратичних ≥ррац≥ональностей:
, числа
p , e ≥ багато ≥нших.
