“еорема (Ћагранж).  вадратичн≥ ≥ррац≥ональност≥ ≥ т≥льки вони представл¤ютьс¤ у вигл¤д≥ неск≥нченного пер≥одичного ланцюгового дробу.

ƒоказ. Ќехай

- пер≥одичний ланцюговий др≥б.

Ќазвемо число

залишком ланцюгового дробу a . “аким чином, залишок r _n ланцюгового дробу a - це весь њњ "хв≥ст" вниз ≥ вправо, починаючи з n -ого поверху. «розум≥ло, що

«алишки пер≥одичного ланцюгового дробу, мабуть, задовольн¤ють сп≥вв≥дношенню: r_k+h = r_k , де k ³ k ₀ , h - пер≥од посл≥довност≥ неповних часток. ÷е означаЇ (згадуЇмо властивост≥ пр¤муючих дроб≥в), що

a =

в≥дк≥л¤

†- квадратне р≥вн¤нн¤ з ц≥лими коеф≥ц≥Їнтами дл¤ знаходженн¤ r_k . ¬иходить, r_k - квадратична ≥ррац≥ональн≥сть, отже,

a = - теж квадратична ≥ррац≥ональн≥сть.

«воротне твердженн¤ теореми доводитьс¤ трохи складн≥ше. Ќехай a задовольн¤Ї квадратному р≥вн¤нню з ц≥лими коеф≥ц≥Їнтами

a a ² + b a + c = 0. (1)

–озкладемо a у ланцюговий др≥б ≥ п≥дставимо в р≥вн¤нн¤ (1) зам≥сть a його вираз

a =

через де¤кий залишок r _n ланцюгового дробу. ѕ≥сл¤ перетворень знову виходить квадратне р≥вн¤нн¤

A _n r _n ² + B _n r _n + C _n = 0, (2)

де

Ї ц≥лими числами. ¬идно, що C_n = A_{n -1} .  р≥м того, дискрим≥нанти квадратних р≥вн¤нь (1) ≥ (2) зб≥гаютьс¤ при вс≥х n :

ќск≥льки (за властивост¤ми пр¤муючих дроб≥в)

†,

то

де e _{n -1} - де¤ке число таке, що | e_{n -1} | < 1. “епер порахуЇмо коеф≥ц≥Їнт A_n у квадратному р≥вн¤нн≥ (2):

¬иходить, дл¤ будь-¤кого натурального n ,

| C _n | = | A _{n -1} | < 2 a a +| a | + | b |.

“аким чином, ц≥л≥ коеф≥ц≥Їнти A _n ≥ C _n р≥вн¤нн¤ (2) обмежен≥ за абсолютною величиною ≥, отже, при зм≥н≥ n можуть приймати лише ск≥нченне число р≥зних значень. ќск≥льки дискрим≥нанти р≥вн¤нь (1) ≥ (2) зб≥гаютьс¤, то ≥ коеф≥ц≥Їнт B_n може приймати лише ск≥нченне число р≥зних значень. ¬иходить, при зм≥н≥ n в≥д 1 до ¥ , ми зустр≥немо лише ск≥нченне число р≥зних р≥вн¤нь вигл¤ду (2), тобто лише ск≥нченне число р≥зних залишк≥в r_n . ÷е значить, що де¤к≥ два залишки r_n ≥ r_n+h з р≥зними номерами обов'¤зково зб≥гаютьс¤, що й означаЇ пер≥одичн≥сть ланцюгового дробу.

ќтже, квадратичн≥ ≥ррац≥ональност≥ ≥ т≥льки вони представл¤ютьс¤ пер≥одичними ланцюговими дробами. "«овн≥шн≥й вигл¤д" ланцюгових дроб≥в, що представл¤ють ≥ррац≥ональност≥ ≥нших тип≥в, у даний час науц≥ нев≥домий (за дуже р≥дк≥сними вин¤тками).