«ак≥нчимо цей параграф теоремою Ў.Ёрм≥та (1822-1901). ÷ей ефектний результат Ї прикладом наступного математичного твердженн¤.
“еорема. ”с¤кий д≥льник числа а 2 + 1, де а Î Z , представл¤Їтьс¤ у вигл¤д≥ суми двох квадрат≥в.
ƒоказ. Ќехай d | ( а 2 + 1). «начить d не д≥литьс¤ а . –озкладемо a / d у ланцюговий др≥б. «наменники його пр¤муючих дроб≥в утвор¤ть зростаючий ланцюжок: 1=Q1<Q2 <...<Qn = d. «начить знайдетьс¤ такий номер k Î N , що
Q k £ Ö d £ Q k +1 ( ª )
≥ хоч одна з цих нер≥вностей - строга. ƒал≥, a / d лежить м≥ж сус≥дн≥ми пр¤муючими дробами, значить
†тобто
де e £ 1. «ведемо р≥зницю усередин≥ модул¤ до сп≥льного знаменника:
† ћаЇмо:
†(тут перша нер≥вн≥сть випливаЇ з ( ª )), значить ( a k -d k ) 2 £ d . р≥м того, з ≥ншоњ нер≥вност≥ в ( ª ) випливаЇ Qk2 £ d ≥ хоча б одна з двох останн≥х написаних нер≥вностей строга. —клавши њх, одержимо строгу нер≥вн≥сть:
( a k - d k ) 2 + Q k 2 < 2 d ,† тобто ( a 2 + 1) Q k 2 - 2 ad k P k + d 2 P k 2 < 2 d .
Ћ≥воруч стоњть сума двох квадрат≥в - ц≥ле додатне число (строго б≥льше за нуль) ≥ кожен з трьох доданк≥в л≥воруч д≥литьс¤ на d. ¬иходить, що л≥ва частина д≥литьс¤ на d ≥ строго менша за 2 d , тобто л≥ва частина Ї саме числом d , ≥
( a k - d k ) 2 + Q k 2 = d - сума двох квадрат≥в.
