3.4. Способи обчислення ймовірностей

Обчислення ймовірності події, яке ґрунтується на класичному або геометричному визначеннях можемо зробити тільки для простих випадків. Обчислення ймовірностей складних подій — як правило базується на непрямих методах, які використовують правило додавання ймовірностей і правило множення ймовірностей.

Нехай маємо два елемента А₁ і А₂. При цьому подія А₁ полягає у тому, що за час досліджень відмовить елемент А₁ , а подія А₂ — елемент А₂. В процесі досліду може відмовити або А₁ або А₂ або А₁ і А₂ разом.

Сумою декількох подій називається подія, яка заключається у появі хоч би однієї з цих подій (або А₁ , або А₂ , або А₁ і А₂ разом).

Частковим випадком є випадок несумісних подій. Сумою декількох несумісних подій називається подія, яка заключається у появі тільки однієї з цих подій (або А₁ ,або А₂ ).

Правило додавання ймовірностей для несумісних подій говорить: ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто:

Р(А₁+А₂) = Р(А₁) + Р(А₂)

В цій формулі знак "+" замінює сполучення "або".

Для суми п несумісних подій теорема додавання має вигляд:

 З цього правила додавання випливають два висновки (наслідки):

1. Якщо події А₁ , А₂ , ... , А_n утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1.

P(A_l) + P(A₂) + P(A_i) + ... + P(A_n) = P(A_і) = 1                         (2)

З цього виразу стає зрозумілим, якщо врахувати, що поява у повній групі однієї з подій є достовірна подія.

2. Сума ймовірності протилежних подій дорівнює 1.

Протилежними подіями називають події, які утворюють повну групу подій: якщо p(t) - ймовірність безвідмовної роботи, q(t) - ймовірність відмови за час t, а відповідні події утворюють повну групу протилежних подій, то:

p(t) + q(t) = 1                                                  (3)

Правило додавання ймовірностей ускладнюється якщо розглядаються сумісні події або ті, які у даному досліді можуть з'явитися разом.

Для сумісних подій правило додавання ймовірностей має такий вигляд:

Р(А₁+А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) - Р(А₁,А₂)                                (4)

де Р(А₁,А₂) - ймовірність сумісної появи однієї і другої події.

Зрозуміти сенс даної формули можливо розглядаючи графічну інтерпретацію поняття суми і добутку подій.

Якщо подія А₁ є попадання точки О в область А₁, а А₂ - в область А₂, то подія А₁+А₂ є попадання в заштриховану область. Якщо події А₁ і А₂ несумісні, то точки які їм належать не можуть попасти одночасно у заштриховану область, яку позначено двійною штриховкою.

Введемо поняття добутку подій.

Добутком декількох подій називається подія, яка заключається у сумісній появі цих подій.

Подія А₁А₂ - добуток двох подій - заключається у одночасному попаданні точок, які належать А₁ і А₂ (дивись заштриховану область).

Тому подія А₁А₂ зменшує число точок області, які належать події А₁, та події А₂. Відповідно ймовірність або наступлення події А₁ або А₂ зменшується на величину ймовірності заступлення сумісної події А₁ і А₂   в формулі (4). Використовуючи геометричну інтерпретацію можна досить легко записати формули для ймовірностей декількох сумісних подій, наприклад, А₁, А₂, А₃.

                  

Сума трьох подій                                           Добуток трьох подій

Р(А₁+А₂+А₃) = Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)–Р(А₁А₂)–Р(А₁А₃)–Р(А₂А₃)+Р(А₁А₂А₃)

В цій формулі додавання ймовірності Р(А₁А₂А₃) викликано тим, що кожна з подій А₁А₂, А₁А₃, А₂А₃, вміщує підможину точок області, яку утворено перетином границь областей А₁, А₂ і A₃.