Правило множення ймовірностей

В формулі (4) є ймовірність р(А₁А₂) наступлення сумісної події А₁ і А₂. Так от, для обчислення ймовірності р(А₁А₂) наступлення сумісної події А₁ і А₂: 1. Подія А₁ називається незалежною від події А₂, якщо ймовірність події А₁ і не залежить (не змінюється) від того, відбудеться чи ні подія А₂. 2. Дві події називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється від того, відбулася чи ні друга подія .

Це зауваження суттєве, так як при розрахунках надійності пристроїв автоматики дуже часто приходиться зустрічатися з обома типами подій. Наприклад, однорідні елементи не об'єднані в конкретні схеми — відмова одного з них не вплине на ймовірність виникнення відмови в другому елементі. Залежна відмова - коли відмова одного викликає відмову другого (наприклад, коли вихід одного елемента з ладу приводить до виходу з ладу всієї схеми).

Так от ймовірність події А₁ визначена при умові, що відбулася подія А₂, називається умовною ймовірністю події А₁ і позначається як р(А₁А₂). Тоді правило множення ймовірностей (для двох подій) буде ймовірність добутку двох подій (А₁ і А₂) дорівнює добутку ймовірності однієї з них (А₁) на умовну ймовірність другої (А₂), обчислену з припущенням що перша подія відбулася, тобто:

р(А₁А₂) = р(А₁) • р(А₂ | А₁) = р(А₂) • р(А₁ | А₂)                          (5)

Якщо події незалежні, то, очевидно, що р(А₁) = р(А₁ | А₂), також як і р(А₂) = р(А₂ | А₁). Звідси виходить ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

р(А₁А₂) = р(А₁) • р(А₂)                                             (6)

В формулі (6) операція множення замінює сполучник "і". Це правило можна застосовувати для будь-якого числа подій. Наприклад, для трьох залежних подій:

р(А₁А₂А₃) = р(А₁) • р(А₂ | А₁) • р(А₃ |А₁А₂)                                 (7)

         Приклад, схема тригера має: 2 транзистори з ймовірністю безвідмовної роботи P_Tp(t)=0,99 кожний; шість резисторів R однакової надійності [p_R(t)=0.998]; два конденсатори однакової надійності [p_n(t)=0.997]. Відмова будь-якого з 10 елементів приводить до відмови тригера. Усі елементи незалежні. Визначити загальну надійність тригера.

Розв'язок: Тригер буде виконувати свої функції якщо і транзистори, і опори, і конденсатори будуть працювати безвідмовно. Відповідно до цього ймовірність безвідмовної роботи тригера p₀(t) може бути визначена на основі правила множення ймовірностей незалежних подій:

Таким чином, якщо система складається з N незалежних елементів, а ймовірність безвідмовної роботи і-того елемента дорівнює р₀(t), то загальна імовірність безвідмовної роботи системи складає:

                      (8)

Ця формула широко застосовується для послідовних з'єднань елементів, коли залежністю елементів можна знехтувати.

Послідовним з'єднанням елементів (систем) називається така її сукупність, коли необхідною і достатньою умовою відмови всього з'єднання в цілому є відмова хоча б одного елемента (системи).

Послідовне з'єднання елементів (систем) називають основним. Паралельне з'єднання елементів по надійності називають резервним з'єднанням. Паралельне - це таке з'єднання, або сукупність елементів (систем) для яких необхідною і достатньою умовою відмови є відмова всіх елементів (систем).

Приклад : Два генератори ( як елементи ) працюють на одне навантаження. Відмова одного з них не вплине на роботу другого. Нехай А₁ і А₂ - дві системи. Якщо відмовить А₁ то система працює за рахунок А₂ і навпаки. Відмовити система може тільки при відмові А₁ і А₂ (відмови незалежні). Тут якраз наведені умови застосування правила множення ймовірностей незалежних подій для визначення імовірності відмови системи.

Позначимо q₁(t) - імовірність відмови елемента (системи) А₁ за час t; q₂(t) - імовірність відмови елемента (системи) А₂ за час q₂(t) - імовірність відмови системи. Тоді згідно визначення для паралельного з'єднання елементів по надійності:

Q(t) = q_l(t)∙q₂(t),

або врахувати, що повна група протилежних подій p(t)+q(t)=l. Можемо записати, що:

P_рез(t) = 1-Q(t) = 1-[1-p₁(t)]∙[1-p₂(t)] = 1-1+p₂(t)+p₁(t)-p₂(t)∙p₁(t) = p₂(t)+p₁(t)-p₂(t)∙p₁(t)    (9)

де Р_рез(t), p₁(t), p₂(t) - імовірності безвідмовної роботи за час t відповідно системи елемента А₁ та елемента А₂.

Паралельне (резервне) включення елементів по надійності підвищує загальну надійність за рахунок застосування однакових (резервних) елементів.

Приклад. Нехай два елемента А₁ і А₂ рівнонадійні, a p₁(t)=p₂(t)=0,9, то загальна надійність системи буде:

Р_рез(t) =p₁(t) + p₂(t) – p₁(t)p₂(t) = 0,9 + 0,9 – 0,81 = 0,99