Числові характеристики випадкових величин

 

Їх досить часто використовують для оцінки  розподілу в.в.

Числові характеристики:

–   математичне сподівання;

–   дисперсія;

–   середньоквадратичне відхилення.

Математичне сподівання випадкової величини (середнє значення випадкової величини) характеризує деяке значення біля якого групуються можливі значення випадкової величини {M[x]; m_x; M_x}.

Нехай маємо дискретну випадкову величину, яка задається рядом розподілу х₁, х₂, ..., х_n   p₁, p₂, ..., p_n. Так як те чи інше значення х_і має певну ймовірність р, то при опосередкуванні приймається до уваги вага кожного значення, пропорційна до його ймовірності.

                                              (1)

Сума повної групи несумісних подій = 1.

  =>                                                   (2)

Математичне сподівання має таку ж розмірність, що і сама в.в. Математичне сподівання – це число, біля якого будуть коливатись середні арифметичні отримані шляхом дослідів.

Математичне сподівання для неперервної випадкової величини.

Т_оп – час безвідмовної роботи елемента

∆t – елементарна ділянка, яка примикається до т.t.

Якщо у формулі (2) замінити х_і на t, а ймовірність р_і замінити приростами елементарних ділянок р_і –> f(t)dt.

                                                (3)

Якщо змінна не t, а х є (-∞+∞;) то  – цю формулу можна використати для знаходження середнього значення функції φ(х), якщо аргументом від цієї функції є випадкова величина х.

                                     (4)

         Математичне сподівання є важливою характеристикою випадкової величини, але часто недостатньо характеризує випадкову величину, бо ця характеристика визначає тільки середнє значення в.в., але не характеризує ступінь розкиду, ступінь розсіювання цієї в.в. біля середнього значення. Знаючи тільки математичне сподівання не можна говорити про характер в.в. біля цього центру (середнє значення).

1 – характеризує більш компактний розподіл

2 – характеризує більший розкид значень в.в. біля Т_ОП.

         Разом з математичним сподіванням треба мати ще додаткові характеристики, які б показували ступінь згуртованості значень в.в. біля математичного сподівання. Подібні характеристики називають дисперсією і середньоквадратичним відхиленням (характеристиками розсіювання). Введемо поняття центрованої в.в. Нехай в.в. Х, яка має математичне сподівання М[х], m_x центрованою в.в., яка відповідає в.в. х називається відхилення х від її математичного сподівання М[х]. Математичне сподівання центрованої в.в.            Центрування в.в. рівносильно переносу початкових координат в середню точку, абсциса якої = m_х.

         Дисперсія в.в. Х – це математичне сподівання квадрату відповідної центрованої величини

         Дисперсія дискретної в.в.

         Чим більше відхилення можливих значення в.в. від математичного сподівання (при тих же значеннях ймовірності р_і), тим більше значення дисперсії в.в. Більші числові значення дисперсії в.в. забезпечують більший розклад в.в. біля математичного сподівання.

         Дисперсія неперервної в.в.

         Якщо φ(х) = (х – m_x)²;

         Дисперсія в.в. є зручна характеристика розсіювання.

         Недолік: розмір квадрату в.в. залишає цю характеристику без наглядності. Тому дуже часто використовується друга характеристика розсіювання: середньоквадратичне відхилення.